Разница между рациональными и иррациональными числами

Термин «числа» напоминает нам о том, что обычно классифицируется как положительные целые значения, превышающие ноль. Другие классы номеров включают целые числа и фракции, сложный и вещественные числа а также отрицательные целые значения.

Расширяя классификации чисел дальше, мы сталкиваемся рациональный и иррациональный номера. Рациональное число - это число, которое можно записать в виде дроби. Другими словами, рациональное число может быть записано как отношение двух чисел.

Рассмотрим, например, число 6. Это можно записать как соотношение двух чисел, а именно. 6 и 1, приводя к соотношению 6/1. также, 2/3, который записывается в виде дроби, является рациональным числом.

Таким образом, мы можем определить рациональное число как число, записанное в форме дроби, где числитель (число сверху) и знаменатель (число снизу) являются целыми числами. Следовательно, по определению каждое целое число также является рациональным числом.

Соотношение двух больших чисел, таких как (129367871)/(547724863) будет также представлять собой пример рационального числа по той простой причине, что числитель и знаменатель являются целыми числами.

И наоборот, любое число, которое не может быть выражено в форме дроби или отношения, называется иррациональным. Наиболее часто цитируемый пример иррационального числа √2 (1.414213…). Другой популярный пример иррационального числа - числовая постоянная π (3.141592 ... ).

Иррациональное число может быть записано как десятичное число, но не как дробь. Иррациональные числа не часто используются в повседневной жизни, хотя они существуют в числовой строке. Существует бесконечное число иррациональных чисел между 0 и 1 на номерной линии. Иррациональное число имеет бесконечные неповторяющиеся цифры справа от десятичной точки.

Обратите внимание, что часто цитируемое значение 22/7 для постоянного π на самом деле только одно из значений π. По определению окружность круга, разделенная на два радиуса, является значением π. Это приводит к множественным значениям π, в том числе, но не ограничиваясь ими, 333/106, 355/113 и так далее1.

Только квадратные корни из квадратных чисел; то есть квадратные корни идеальные квадраты рациональны.

√1= 1 (Rational)

√2 (Нерациональное)

√3 (Нерациональное)

√4 = 2 (Rational)

√5, √6, √7, √8 (Нерациональное)

√9 = 3 (Рационально) и так далее.

Далее отметим, что только Nкорни NСилы рациональны. Таким образом шестые корень 64 рационально, потому что 64 это шестые сила, а именно шестые сила 2. Но шестые корень 63 иррационально. 63 не идеальный 6го мощность.

Неизбежно, десятичное представление иррациональных чисел входит в картину и представляет некоторые интересные результаты.

Когда мы выражаем рациональный число как десятичное число, то либо десятичное число будет точный (как в 1/5знак равно 0,20) или это будет неточный (как в, 1/3 ≈ 0,3333). В любом случае, будет предсказуемый набор цифр. Обратите внимание, что когда иррациональный число выражается в виде десятичной дроби, тогда ясно, что оно будет неточным, потому что в противном случае число будет рациональным.

Кроме того, не будет предсказуемой последовательности цифр. Например,

√2 ≈1,4142135623730950488016887242097

Теперь, с рациональными числами, мы иногда сталкиваемся 1/11 = 0,0909090.

Использование как знака равенства (знак равно) и три точки (эллипсис) подразумевает, что, хотя это не возможно выразить 1/11 точно как десятичное число, мы все еще можем приблизить его с таким количеством десятичных цифр, сколько разрешено, чтобы приблизиться к 1/11.

Таким образом, десятичная форма 1/11 считается неточным. К тому же, десятичная форма  ¼ что составляет 0,25, это точно.

Переходя к десятичной форме для иррациональных чисел, они будут всегда неточными. Продолжая с примером √2, когда мы пишем √2 = 1.41421356237… (Обратите внимание на использование многоточия), это сразу означает, что для √2 будет точно. Кроме того, не будет предсказуемой последовательности цифр. Используя концепции численных методов, опять же, мы можем рационально аппроксимировать столько десятичных цифр, сколько будет достигать точки, близкой к √2.

Любая заметка о рациональных и иррациональных числах не может закончиться без обязательного доказательства того, почему √2 иррациональна. При этом мы также выясняем, классический пример доказательство продолжениемradiction.

Предположим, что √2 рационально. Это заставляет нас представлять его как отношение двух целых чисел, скажем п и Q.

√2 = p / q

разумеется, п и Q не имеют общих факторов, потому что если бы были какие-то общие факторы, мы бы исключили их из числителя и знаменателя.

Возведя в квадрат обе стороны уравнения, мы получим,

2 = р2 / д2

Это может быть удобно написано как,

п2 = 2q2

Последнее уравнение предполагает, что п2 даже. Это возможно только если п сам по себе чётный. Это в свою очередь подразумевает, что п2 делится на 4. следовательно, Q2 и следовательно Q должен быть четным. Так п и Q оба даже, что противоречит нашему первоначальному предположению, что они не имеют общих факторов. таким образом, √2 не может быть рациональным. Q.E.D.